"定义凸函数f:I→R在点x0的次导数，是实数c使得：，对于所有I内的x。所有次导数的集合[a

定义

凸函数

在点x0的次导数，是实数c使得：

，对于所有I内的x。我们可以证明，在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间

，其中a和b是单侧极限，

，它们一定存在，且满足

。所有次导数的集合[a,b]称为函数f在x0的次微分。

例子

考虑凸函数f(x)=|x|。在原点的次微分是区间

时，次微分是单元素集合

，则是单元素集合

。

性质

  • 凸函数f:I→

    R

    在x0可导，当且仅当次微分只由一个点组成，这个点就是函数在x0的导数。
  • 点x0是凸函数f的最小值，当且仅当次微分中包含零，也就是说，在上面的图中，我们可以作一条水平的“次切线”。这个性质是“可导函数在极小值的导数是零”的事实的推广。

次梯度

次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果

是一个实变量凸函数，定义在欧几里得空间

R

内的凸集，则该空间内的向量v称为函数在点x0的次梯度，如果对于所有U内的x，都有：

，所有次梯度的集合称为次微分，记为

)。次微分总是非空的凸紧集。