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切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，它涉及几何、代数、物理向量、量子力学等多个领域的知识，是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。切线方程有用向量法和解析法两种方法进行分析和求解。切线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如在求导数、曲线积分、微分方程等领域中都有重要的应用。
方程的证明
分析-解析法
或直接
（k1为与切线垂直的半径斜率。）
得
（以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况）
所以切线方程可写为：
将点
,可求出
所以:
此类切点有2个，不妨设为
故得证。
常见切线方程的证明
椭圆
若椭圆的方程为
,点P在椭圆上，则过点P椭圆的切线方程为
双曲线
若双曲线的方程为
,点P在双曲线上，
则过点P双曲线的切线方程为
抛物线
若抛物线的方程为
, 点P在抛物线上，则过点P的抛物线的切线方程为
设切线方程为
，联立切线与抛物线
在
点斜率为求导：
代入点
则
所以切线为：
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