赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。

中文名

赫尔德不等式

外文名

Hölder inequality

表现形式

离散形式和积分形式

所属学科

泛函分析

类别

不等式

创建者

赫尔德

学科

数学

所属学科

泛函分析

基本形式

内容

设

,若

，则

若

,则该不等式反向。成立条件

仅当{{

}，{

}}中至少有一个为零数列或者

，且

,使得

,

离散形式

内容

设

或

为实数或复数列，a叫做多重指标，令

满足条件的p,q称为共轭指数，

是规定

,

若

，则

若

,则不等号反向。成立条件

时，

,且

成立

积分形式

内容

设p、q为共轭指数，令

若

当

时，

,且

即

,

…………………… ①

………… …………②

若

,则不等号方向改变成立条件

时，仅当

,使得

和在E上几乎处处成立时①式成立

时，仅当

，使得

a.e.(almost everywhere)于E，且

时，

②式成立

其他证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果

，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果

也是这样。因此，我们可以假设

且

。

如果

或

，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设

和

位于

内。

如果

且

，那么几乎处处有

，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于

和

，情况也类似。因此，我们还可以假设

。

分别用f和g除

，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当时

等式成立。

因此：

两边积分，得：.

这便证明了赫尔德不等式。

在

和

的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有

。更一般地，如果

和

位于

内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在

（即

且

），使得：

几乎处处

的情况对应于

中的

。

=的情况对应于

中的

。