正文

芬斯拉不等式

设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为Δ，则

（当

时，等号成立）……（1）

不等式（1）叫做芬斯拉不等式（Finsler，1894—），它反映了三角形三边与其面积之间的关系。

证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设

，

，则有

，

∵

（2）

等号当且仅当

，且

时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

，

∴

。（当

时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当

时，正三角形的面积最大，此时有

，利用这两个公式就可造出不等式（2）。

证明二：由余弦定理及三角形面积公式，

当且仅当

，即

时，等号成立。

芬斯拉不等式的推广：

1、若a、b、c、d为四边形的四条边， Δ为其面积，则有

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若

为n边形的边长， Δ为其面积，则有

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。