非标准全域是标准全域的非标准模型，它是另一个超结构的子集。非标准全域也可用公理方法建立。

外文名

nonstandard universe

适用范围

数理科学

简介

非标准全域是标准全域的非标准模型，它是另一个超结构的子集。

非标准全域

非标准全域

非标准全域

非标准全域

非标准全域

非标准全域

非标准全域

非标准全域

设U=V(S)是一个以S为个体集的标准全域，I为指标集（I可取自然数集或更大的集合），为I 上的一个自由超滤子，是I到S的一切函数（I-序列）之集，即，其中{a}表示I到S的一个函数 在 上定义等价关系： ，当且仅当 ∈，这个等价关系简单地写成，a.e。令* ，以*S为个体集的超结构记为V(*S)。

性质

标准全域U=V(S)的非标准全域*U=*V(S)是V(*S)的一个子集，它的元素按如下方式归纳地选自V(*S)。

非标准全域

非标准全域

设{A}是V(S)中元素的一个I序列，若存在一个p∈N，使得，则称序列{A}是有界的。若序列{A}是有界的，则存在一个最小的j∈N，使得，这个j称为序列{A}的秩。对于每个有界序列{A}，可以按秩归纳地选取一个元素A∈V(*S)，并记A= ：若{A}的秩为0，令A=，即*S中的一个元素。

非标准全域

非标准全域

假设对于秩小于j的每个序列{B}已经定义了对应的元素，并且{A}的秩为j，则定义 的秩小于j，并且 这样就完成了非标准全域*U=*V(S)的定义。*V(S)中的元素称为内的，V(*S)\*V(S)中的元素称为外的。由上述定义，*S中的元素都是内的，因而没有外的个体。上述构造非标准全域的方法称为超幂构造。

公理

非标准全域也可用公理方法建立如下。设V(S)和V(*S)分别是以S和*S为个体集的两个超结构，嵌入映射*:V(S) →V(*S)满足如下两条公理：

非标准全域

扩张原理。*S是S的真扩张，即，并且对于每个a∈S，有*a=a；

转换原理。标准全域的语言L(V(S))中的句子φ在V(S)中为真，当且仅当它的*-转换*φ在V(*S)中为真。*φ是把φ中出现的常元符号a全部换成它的*-像的符号*a得到的句子。若A∈V(S)\S，则*A 称为标准集合，V(* S)中的元素是内的，当且仅当它是某个标准集合的元素。所有内的元素构成的集合记为*V(S)，它就是标准全域V(S)对应的非标准全域。