指数族分布(exponential family of distributions)亦称指数型分布族，是统计中最重要的参数分布族，包含了二项分布、正态分布等。

基本介绍

借助指数族分布，对响应变量Y的描述将不再局限于正态分布，称观测

来自

指数族分布

，如果其概率密度函数可以表达为如下形式：

其中：

(1)

是指数族的

自然参数

(natural parameter)，是我们感兴趣的参数；

称为

尺度参数

或

讨厌参数

；

(2)

以及

是依据不同指数族而确定的函数。注意

只由

和

决定。

指数族数据

指数族的均值、方差都有简洁的表达式。由于

因此可知随机变量

的均值为

此外，由于

可以得到方差公式

常见分布

指数族包含了很多常用的概率分布。例如，正态分布

的密度函数为

上式可以化为(1)式的形式

对应于(1)式，我们有

由此可见，正态分布属于(1)式所定义的概率指数族。

同样的，Bernoulli分布

也属于指数族，这是因为它的概率密度函数

可以化为

再令

可得

对应于(1)式，我们有

此外，泊松分布

的密度函数为

伽马分布

的密度函数为

泊松分布

和伽马分布

都属于指数族，下表总结了所有的指数族分布。
表1 指数族分布总结

正态分布

两点分布

1

二项分布

1

泊松分布

1

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