定向曲线(oriented curve)亦称有向曲线，指规定了方向的曲线。对曲线Γ：x=φ(t)，t∈[a，b]可以按参数增加(或减少)规定Γ的方向，即规定t₁

外文名

oriented curve

别名

有向曲线，定向曲线弧

简介

指规定了方向的曲线

所属学科

数学

基本概念

设L是一条与自身不相交的曲线(可以是封闭的曲线)，当一动点沿曲线L连续地向同一方向移动时，该动点的移动方向就确定了曲线L的方向，我们称确定了方向的曲线为

定向曲线

或

定向曲线弧

。一般地，一条定向曲线L的反向曲线记为L，若曲线L是以A为起点，B为终点的定向曲线，则记为

。对于定向曲线，

和

是两条互为反向的定向曲线。

定向曲线的参数方程

定向曲线

也可写为参数方程的形式

这里用符号

表示变量t从a变到b，其中，

时对应的曲线上的点

是定向曲线

的起点A，

时对应曲线上的点

是定向曲线

的终点B，定向曲线的参数方程也用如下向量形式表示

定向曲线的切向量

对光滑的定向曲线

，其在任意一点处的切向量

是指曲线在该点切线的方向向量

中与曲线的方向一致的向量。

图1 曲线的定向与单位切向量

由一元向量值函数导数的几何意义知，

是曲线切线的方向向量中，方向指向参数增大的方向，所以定向曲线

的切向量为

如空间定向曲线

的参数方程为

则

的切向量为

又如平面定向曲线L的方程为，则该定向曲线的切向量为

若定向曲线L的方程为，则其切向量为