性质

艾森斯坦整数在代数数域

Q

(ω)中形成了一个代数数的交换环。每一个 z = a + bω都是首一多项式的根。特别地，ω满足以下方程：

因此，艾森斯坦整数是代数数。

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方，由以下的公式给出：

因此它总是整数。由于：

因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群，是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是：

{±1, ±ω, ±ω2}它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数

设 x和 y是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数 z，使得 y = zx，则我们说 x能整除 y。

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数 x是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是 ux的形式，其中 u是六次单位根的任何一个。

我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式 x− xy+ y，因此可以分解为( x+ω y)( x+ω y)。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数 a + bω，只要范数 a− ab+ b为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域，其范数 N由以下的公式给出：