性质

艾森斯坦整数在代数数域

Q

(ω)中形成了一个代数数的交换环。每一个 z = a + bω都是首一多项式的根。特别地,ω满足以下方程:

因此,艾森斯坦整数是代数数。

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方,由以下的公式给出:

因此它总是整数。由于:

因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群,是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是:

{±1, ±ω, ±ω2}它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数

设 x和 y是艾森斯坦整数,如果存在某个艾森斯坦整数 z,使得 y = zx,则我们说 x能整除 y。

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念:一个非可逆元的艾森斯坦整数 x是艾森斯坦素数,如果它唯一的因子是 ux的形式,其中 u是六次单位根的任何一个。

我们可以证明,任何一个被3除余1的素数都具有形式 x− xy+ y,因此可以分解为( x+ω y)( x+ω y)。因为这样,它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式,因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数 a + bω,只要范数 a− ab+ b为素数,那么就是一个艾森斯坦素数。实际上,任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式,要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域,其范数 N由以下的公式给出: