定义

自然映射一种重要的映射，亦称正规映射、典型映射。

设R是集合A上的等价关系，若映射g：A→A/R对当a∈A有g(a)=[a]，则g称为A关于等价关系R的

自然映射

，记为n.

注：自然映射n把A的元素a映射成它的等价类[a]，即n(a)=[a].

性质

自然映射是满射。反之，设f：A→B是满射，则

自然映射

是A的直和分解。而{f(b)}是A的划分，若由此划分定义的等价关系为R，则当f(a)=b时，[a]=f(b)，于是f可分解为一个自然映射与一个双射的积：f=g°n，这里g：f(b)→b.

举例

例 设A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；R是A上的同乡关系（不难证明同乡关系是等价关系），若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f是南京人，则R={(a,a)，(a,b)，(b,a)，(b,b)，(c,c)，(d,d)，(d,e)，(d,f)，(e,d)，(e,e)，(e,f)，(f,d)，(f,e)，(f,f)}. A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

A中各元素关于R的等价类（自然映射）分别是：

[a]=[b]={a,b}；

[c]={c}；

[d]=[e]=[f]={d,e,f}.