庞加莱体（均匀流体球自转时的平衡形状）

形状分态

①梨状体或卵状体。和雅可比椭球体相比，一头稍大，另一头稍小；

②带状体。垂直于自转轴的截面都是椭圆或圆，而子午截面不是椭圆，但与椭圆相差很小。与椭圆比较时，有的弧段上要凸出些，有的则凹下些；

③扇状体。它的子午截面都是椭圆或圆，而垂直于自转轴的截面不是椭圆，但同椭圆相差很少。与椭圆比较时，有的弧段凸出，有的凹下。

此外，还有一些更复杂的形状。

研究经过

混沌的发现

当我们试图描画由这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐近解）构成的图形时，这些相交形成一种格子、丝网或无限密集的网栅结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上。这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想把它画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念了。

从截面上一点出发的系统，经过一个过程后，当它再穿过截面时，却在另一点交于庞加莱截面，简直无法预言它下一次将从哪一点穿过截面；实际上系统是以无规的点的序列频频穿过庞加莱截面的。这就是混沌，庞加莱在“三体问题”中发现了混沌！这一发现表明，即使在“三体系统”，甚至是极为简化的“希尔约化模型”中，牛顿力学的确定性原则也受到了挑战，动力系统可能出现极其惊人的复杂行为。并不像人们原来认为的那样，动力系统从确定性的条件出发都可以得出确定的、可预见的结果；确定性动力学方程的某些解，出现了不可预见性，即走向混沌。

其实，在庞加莱动手解决奥斯卡国王的难题的同一年，即1887年，数学家布伦斯（Bruns，H.）就已证明，三体问题的9个自由度18个二阶微分方程，只有10个运动积分，即3个动量积分，3个角动量积分，3个关于质心运动的积分和1个能量积分。

1890年，庞加莱将布伦斯的结论推广到有摄动参数的情况；1892年在他的三卷本《天体力学新方法》的第一卷第四章中，他对这个定理做出了一般表述：在通常的保守问题中，经典力学正则方程除了满足能量积分外，不满足其它任何解析、一致的积分。庞加莱的一般性结论，实质上是指出，可积系统是极少的；许多行为很规则的系统，当受到扰动后，可能出现不连续性，其参数或初始条件的微小变化，就可能引起复杂的、甚或是性质上的变化。

庞加莱的工作提出了经典力学的确定性原则的适用限度的重大问题，留下了极富启发性的论断和猜想。不过，混沌问题是太复杂了，庞加莱的时代还不具备揭示和描述混沌现象的足够的知识储备和数学工具。虽然凭着他超人的几何直觉对混沌的复杂性有所洞察，但是他并不真的是“不想”画出他所发现的“同宿栅栏”，而是“无法”把它画出来。这是只有用电子计算机技术才能处理的复杂几何图象。庞加莱的思想是太超前于他的时代了，所以他的发现在半个多世纪里并未受到科学界的重视；牛顿力学确定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽着混沌广阔富饶的研究领域。