马蒂厄群（马蒂厄群）

概念及性质

马蒂厄群(Mathieu group)是一种特殊的多重传递群。法国数学家马蒂厄(Mathieu,E. L.)发现的5个多重传递群。它们的次数分别为11,12,22,23,24。后人把这5个群称为马蒂厄群，并且用M，M，M，M，M来表示。马蒂厄群的最直接的定义方法是举出集合Ω和S内的若干特别的元素而规定马蒂厄群是这些元素生成的群。例如，取Ω={1，2，…，12}，记：

a=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11)，

b=(5，6，4，10)(11，8，3，7)，

c=(1，12)(2，11)(3，6)(4，8)(5，9)(7，10).

并规定M=〈a，b〉，M=〈a，b，c〉。又取Ω={1，2，…，24}，记：

d=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23)，

e=(3，17，10，7，9)(5，4，13，14，19)·(11，12，23，8，18)(21，16，15，20，22)，

f=(1，24)(2，23)(3，12)(4，16)(5，18)·(6，10)(7，20)(8，14)(9，21)·(11，17)(13，22)(19，15)，

并规定M=〈d，e〉，M=〈d，e，f〉。而记：

g=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11)·(12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22)，

h=(1，4，5，9，3)(2，8，10，7，6)·(12，15，16，20，14)(13，19，21，18，17)，

j=(11，22)(1，21)(2，10，8，6)(12，14，16，20)·(4，17，3，13)(5，19，9，18).

规定M=〈g，h，j〉.马蒂厄群的阶分别为：

|M|=7920，　|M|=95040，

|M|=443520，　|M|=10200960，

|M|=244823040，

其中M可视为M的一个点的稳定子群；M，M可分别视为M的两个点的和一个点的稳定子群。

马蒂厄群的特别重要的性质是：1.它们都是单群，是最早发现的散在单群。2.除M外，其余4个马蒂厄群都是4重传递群，其中M和M还是5重传递的，而且M，M分别为精确4重传递和精确5重传递群。马蒂厄群与组合设计有密切的关系，存在施泰纳3元系S(4，5，11)，S(5，6，12)，S(4，7，23)，S(5，8，24)，使M，M，M，M为它们的自同构群。同时存在一个施泰纳3元系S(3，6，22)，使M是它的自同构群的指数为2的正规子群。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

单群

单群是一类重要的群。即不含非平凡正规子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正规子群，则称G为单群。若此时G还是有限群，则称G为有限单群。有限单群的例子有：素数阶群，交错群A，n≥5。有限单群的研究是有限群论中一个十分活跃的领域。

正规子群

正规子群亦称不变子群。一类重要的子群。在共轭作用下不变的子群。设H是群G的一个子群，若对任意的x∈G有Hx=xH，则称H是G的一个正规子群，记为HG.子群H是G的正规子群的充分必要条件是对于任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的两个正规子群，称为G的平凡正规子群。

置换群

由置换组成的群。n元集合Ω={a，a，…，a}到它自身的一个一一映射，称为Ω上的一个置换或n元置换。

有限群在其形成时期几乎完全在置换群的形式下进行研究，拉格朗日和鲁菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的关于方程可解性的著作里，引进了n个根的一些函数进行研究，开创了置换群的子群的研究，得到“子群的阶整除群的阶”这一重要结果。鲁菲尼在1799年的专著《方程的一般理论》中，对置换群进行了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概念。在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西发表了关于置换群的重要文章(1815)。他以方程论为背景，证明了不存在n个字母(n次)的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。伽罗瓦对置换群的理论做出了最重要的贡献，他引进了正规子群、两个群同构、单群与合成群等概念，发展了置换群的理论。可惜他的工作没有及时为数学界所了解。柯西在1844—1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限(置换)群，如果它的阶可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个p阶子群。他还研究了n个字母的函数在字母交换下所能取的形式值(即非数字值)，并找出一个函数，使其取给定数目的值。

置换群的理论(主要指伽罗瓦的工作)在1870年由若尔当整理在他的《置换与代数方程》之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。

多重传递群

多重传递群是比传递群有更强的传递性质的置换群。设k是一个自然数，而G是Ω上的一个置换群，且|Ω|≥k。若对Ω的任意两个有序k元子集{α，α，…，α}和{β，β，…，β}，都可找到一个元素g∈G，使得α=β，α=β，…，α=β，则称G在Ω上是k重传递的；或简单地称，G在Ω上是k传递的。由这个定义，1重传递群就是通常所称的传递群，2重传递群称为双传递群。一般地，若k≥1，一切k+1重传递群都是k重传递群。S是惟一的n次n重传递群，而A是n次的n-2重传递群。还可推出：当k≥2时，G在Ω上是k重传递的当且仅当G在Ω上是传递的并且对任意α∈Ω，稳定子群G在Ω\{α}上是k-1重传递的。由此可知，若G是Ω上的k重传递群而|Ω|=n，则G的阶是n(n-1)…(n-k+1)的倍数。若k≥2，则一切k重传递群都是本原群。人们常把传递置换群分作三类加以研究：即二重和二重以上的传递群；非二重传递的本原群；非本原群。其中二重以上传递(即多重传递)群的研究一直是置换群理论的引人注意的课题。其背景是，虽然有大量的2重传递群和3重传递群，但除去S和A外，人们从未发现任何一个6重传递群，而4重传递群只知道有4个，马蒂厄群M，M，M，M，其中M，M是5重传递的。利用有限单群分类定理，已经决定出全部的2重传递群。由此也证实了上述四个马蒂厄群是A，S以外的全部4重传递群。

人物简介

马蒂厄是法国数学家、物理学家。生于梅斯(Metz)，卒于南锡(Nancy)。早年学习拉丁语和希腊语，后来转向数学。1859年毕业于巴黎理工科大学。1869年任贝桑松(Besancon)大学数学教授。1874年受聘为南锡大学教授。马蒂厄在博士论文(1859)中论述有关置换群的问题。毕业后转向数学物理的研究，扩展了一类源于物理问题的偏微分方程的形式与解法。1868年引入椭圆坐标，同时给出相应的函数表达式，后人称之为“马蒂厄函数”。1873年又在《数学物理教程》(C-ours de physique mathematiq-ue)中讨论了有关椭球体等问题，进一步引入其它一些新函数。他的主要论著收于《数学物理文集》( Traite de physique mathematique，7卷1874—1890)中，其工作对波动方程的理论研究有所推动。

施泰纳是瑞士数学家。生于瑞士伯尔尼州(Bern)北部的小镇乌岑斯多夫(Utzen-sdorf)，卒于柏林。施泰纳幼年是一个牧童，父亲是贫苦的农民，无力送他上学。施泰纳14岁时还是一个文盲，在家中务农。不过却有相当好的计算能力。他渴望读书，18岁时(1814年)，违背父母的意愿，离家出走。幸运地遇到一位教师佩斯塔洛奇(Johann HeinrichPestalozzi，1746.1.12—1827.2.17)，把他吸收到学校来。佩斯塔洛奇是历史上著名的教育家，一生从事教育工作。1776年，曾收集贫苦儿童二十人，让他们半耕半读。1798年，瑞士受法国的侵略，很多儿童流离失所，他又收罗了八十多个战争留下的孤儿，在小寺院里办耕读学校。不久又因没有得到地方的支持而失败。后来又在瑞士西部的伊韦尔东(Yverdon)办学校。他为施泰纳的诚恳和向学的坚决意志所感，允许施泰纳随班学习。由于佩斯塔洛奇教导有方，使施泰纳对数学产生浓厚的兴趣，并成为佩斯塔洛奇新教学法的热烈拥护者。施泰纳不久便兼该校教师，受到学生欢迎。1818— 1821 年 在 海 德 堡(Heidelberg当家庭教师，又在中学教课。1822—1824年入柏林大学学习，后任教于技术学校。1834年受聘为柏林大学特别教授以终其生。施泰纳是近代射影几何的奠基人。他的主要著作是《几何形的相互依赖性的系统发展》(System-atische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischen Gestaltenvon einander，1832)详细讨论了对偶原理，即两个对偶问题之一为真，则另一个亦真。他建立射影几何的严密系统，推广卡诺(Carnot)完全四边形的工作到空间多边形去，完成了点列、线束、二次曲线及曲面的理论，讨论圆锥曲线和“帕斯卡六角形”的种种性质。在几何方面做出了重要贡献。被誉为自阿波罗尼奥斯以来最大的几何学家。施泰纳推崇纯粹综合几何方法，强调几何直观，但思想走向极端。他反对甚至厌恶代数和分析的推导。