矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。

中文名

矩阵行列式

外文名

determinant of a matrix

定义

矩阵的全部元素构成的行列式

所属学科

数学

所属问题

高等代数(矩阵)

基本介绍

一个n×n的方阵A的行列式记为det(

A

)或者|

A

|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

矩阵行列式

把一个n阶行列式中的元素a所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a的余子式，记作M。记

A

=(-1)

M

，叫做元素a的

代数余子式

。例如：

矩阵行列式

矩阵行列式

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即:

矩阵行列式

定理

定理1

设A为一n×n矩阵，则det(A)=det(A)。

证

对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=adet(M)-adet(M)+-…±adet(M)，

由于M均为k×k矩阵，由归纳假设有

矩阵行列式

此式右端恰是det(A)按照A的第一列的余子式展开。因此

矩阵行列式

定理2

设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

定理3

令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。