复立体是在广义幂指函数角度下的复平面理论。

外文名

CuiGe

定义

用三个维度扩展复平面

复立体定义

复立体附图

如左图所示，在三维空间中存在实轴。在实轴的原点处作垂面1定义为虚面。在虚面上作单位圆定义为虚圆。从虚圆圆上选取某特定的一个直径和实轴组成面2定义为标准复平面。虚圆上其他直径和实轴组成非标准复平面。

虚圆上的点即由-1所有二次方根组成。选定的直径为i∠(0)和i∠(-1)（定义见后，前者即为i，后者即为-i）。

无论标准复平面还是非标准复平面，其面内皆可以进行加减等运算。同时，标准复平面就是现有的复平面，

目前的复平面理论皆适用。

任何复立体中的点，都可以用一个从原点出发的矢量（称为复立体矢量）表示，这种矢量不同于(i,j,k)矢量。

这个时候，任何复立体中的点，都表示为a×1+b×ix。其中，b×ix为广义虚数，ix形式为i∠(x)。

复立体讨论

根据公式

w^z=exp(z*Lnw)

=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}，得到：

i^i和(-i)^(-i)均为exp[(π/2)+2kπ]。

Exp[(π/2)+2kπ]是个多等式，起因是Lnw多值引起。但是，换个角度，也可以认为i值多值引起，即假定定义某个ix，是现有复数i的一个元素，对应于Exp{-[(π/2)+2kπ]}的某个k。不同的ix对应不同的k值。用i∠(x)括号中的数字来区分各个解。由于π/2并非唯一候选值，故括号中的数字为对应于π/2时候的k。

这样，-1即有无穷二次方根。从上面的复立体角度看，就是这些根均位于同一个平面上。

意义

复立体推广了复平面理论，并指出代数基本定理需要推广。