虚功原理（1764年J.-L.拉格朗日建的原理）

虚位移介绍

虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的"虚"字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。

如果用虚位移表达的几何可能位移、和真实应力作为静力可能应力代入功能关系表达式，注意到真实应力和位移是满足功能关系的，因此可以得到用虚位移dui 和虚应变deij 表达的虚功方程

上式中应力分量为实际应力。注意到在位移边界Su上，虚位移是恒等于零的，所以在上述面积分中仅需要在面力边界Ss上完成。

原理介绍

虚功原理阐明，对于一个静态平衡的系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总和等于零。考虑一个由一群粒子组成，呈静态平衡的系统。作用于任何一个粒子 Pi 的净力 等于零：

。作用于任何一个粒子 Pi 的净力，经过虚位移，所作的虚功为零。因此，所有虚功的总和也是零：

。分析到这里，请特别注意，对于任意位移，虚功总和方程式都是正确的。因此，原本的向量方程式，仍旧可以从虚功总和方程式求得。让我们继续分析。将净力细分为外力 与约束力：

。如果，一切约束力，因为虚位移，所作的虚功总合是零。则约束力项目可以从方程式中移去。

。特别注意，现在，很可能不等于零。实际上，我们应该认为它不等于零。

符合约束力虚功总和是零的实例：

刚体的约束是。这里，粒子 与粒子 的位置分别为 与，是常数。所以，两个粒子虚位移（）的关系为。

两种可能状况

在这状况下，粒子作用于粒子的力方向与粒子作用于粒子的力正好相反。两只力所作的虚功互相抵销。 : 因为，所以， 。虚功总合仍旧是零。所以，在刚体内，粒子与粒子之间的作用力与反作用力所作的虚功总合是零。

思考木块在平滑地面上的移动。因为木块的重量，而产生的反作用力，是地面施加于木块的一种约束力。这约束力垂直于虚位移。所以，它所作的虚功等于零。可是，假若木块移动的地面是粗糙的，则会有摩擦力产生。由于虚位移平行于摩擦力，虚功不等于零。所以，达朗伯特原理不适用于这状况。但是，如果是一只轮子滚动于粗糙的表面上，因为摩擦点是不动的，虚功等于零，又可以用到达朗伯特原理了。在动力学里，也有一个对应的原理，叫做达朗伯特原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。

结构力学中刚体体系的虚功原理：设满足理想约束的刚体体系上作用任何的平衡力系，又假设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上所做的虚功总和恒为零。

结构力学中变形体体系的虚功原理：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上所作的虚功总和。