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罗尔中值定理
微分学中一条重要的定理
三大微分中值定理之一
证明过程
几何意义
若连续曲线
在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
几种特殊情况
（1）有界开区间上的有界函数
若函数
在区间
上连续且可导，并有
，则至少存在一个
，使得
。
（2）有界区间上的无界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有
（或
），则至少存在一个，使得。
（3）无界区间上的有界函数
若函数 在区间
上连续且可导，并有
，则至少存在一个
，使得。
（4）无界区间上的无界函数
若函数 在区间
上连续且可导，并有
（或），则至少存在一个，使得。
（5）半无界区间上的有界函数
若函数 在区间[
)上连续且可导，并有
，则至少存在一个
，使得。
（6）半无界区间上的无界函数
若函数 在区间[ )上连续且可导，并有
（或），则至少存在一个，使得。
证明
这里仅选择特殊情况（2）、（3）加以证明，其余证明的思路大致类似。
定理 若函数 在区间 上连续且可导，并有。则至少存在一个，使得。
证明：至少可取到一点
，使
，否则 恒等于
，对于任意的实数
，都有。
不妨设
，取
，显然
。根据极限定义，由
可得
任取
，则有
，
。
利用
，类似地可知存在
，使
。
定理 若函数 在区间 上连续且可导，并有
。则至少存在一个，使得。
证明：任取，因为
，所以至少存在一点
，使
。
类似地由 可知存在一点
，使
。
这就有了
且，
于是，在闭区间
上连续，则在闭区间 上必有 的最小值点，由于闭区间 的两个端点都不可能是 的最小值点，由此可知，根据费马定理可知。
范例解析
用罗尔中值定理证明：方程
3
在 (0,1) 内有实根。
证明：设
则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，
，
所以由罗尔中值定理，至少存在一点
，使得
，
所以
，
所以ξ是方程
在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。
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