平面极坐标（专业术语）

定义

正如所有的二维坐标系，平面极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式

在极坐标中，x被

ρcosθ

ρsinθ

极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值：

极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果

发展史

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了直角价值到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把cos、sin当作变量来使用，而且用z，n和m来表示cos和sin。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。

应用

有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。

典型图像模型例举与解析；圆心原点的时候；圆与坐标轴相切的时候。

平面极坐标系下动量算符的选择

动量算符是量子力学中的基本算符。量子力学中的所有力学量用力学量用厄米算符表示。若在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符由经典表示式中将动量换为算符－ih得出。更一般地，对于笛卡尔坐标中的一维情况，当存在经典类比时，动量算符应为

极坐标与二维直角坐标系转换关系如下：

（1）从动能算符判定

一个具有旋转对称的二维运动粒子，在二维指教坐标系中的动能算符为：

量子力学的所有力学量算符必须是线性厄米算符。此二算符线性显然满足，因此，需要考查这两个算符的厄米性。由直角坐标系与极平面极坐标系的相互转换关系有：

（1）直角坐标系下动量算符各分量的表述形式并不适用于极坐标系。

（2）对于直角坐标系中的动量算符分量，即其后可加上有关该方向坐标的函数不影响原来的算符，但在非笛卡儿坐标系中却不成立。

（3）动量算符应和正则共轭动量对应，而不是和机械动量m→v对应。

（4）在对力学量进行量子化过程中，当存在经典类比时，从任一经典力学量