在数学分析中有一类关于Sobolev空间中的范数的Sobolev不等式。这些不等式可以用于证明Sobolev嵌入定理，给出某些Sobolev空间的包含关系。而Rellich-Kondrachov定理指出在稍强的条件下，一些Sobolev空间可以被紧嵌入到另一个空间。这类不等式得名于谢尔盖·利沃维奇·索博列夫。

嵌入定理

令W(

R

)表示包含

R

上所有满足前k阶弱导数属于L的实值函数的Sobolev空间。其中k是非负整数且有

。Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果

且满足

和

那么

并且该嵌入连续。在

且

的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出

其中p是p的Sobolev共轭，如下给出

这个Sobolev嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接得出。

Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间C(

R

)。如果

其中

，则有嵌入

Sobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。

一般不等式

令U为

R

上带有 边界的有界开集。（U也可以无界，但这种情况下，它的边界如果存在，则必须是充分好的。）假设

，考虑两种情况：

这时

，其中

有估计

常数C只依赖于k,p,n和U。

这里u属于Hölder空间，更精确的：

其中

有估计

常数C只依赖于k,p,n,γ和U。

情形

如果

，则u是有界平均振动函数且有

对于某个常数C只依赖于n。这个估计是庞加莱不等式的推论。

相关不等式

假设

。存在常数C只依赖于p和n，使得

对所有

，其中

因此如果

，则u在一个零测集上重新定义后，实际上为指数γ的Hölder连续。

一个类似的结果在带有C边界的有界定义域U上成立。此时，

其中常数C现在依赖于n,p和U。这一不等式可由前一不等式利用从W(U)到W(

R

)的保范延拓得到。

纳什不等式

纳什不等式，由约翰·纳什引入，指出存在一个常数

，满足对所有

,

这个不等式由傅立叶变换的基本性质导出。实际上，在半径为ρ的球的补集上的积分，

由帕塞瓦尔定理。另一方面，有

在半径为ρ的球上的积分给出

(2)

其中ω是n维球的体积。选择ρ最小化(

1

)和(

2

)的和，再次使用帕塞瓦尔定理：

给出不等式。

在

的特殊情形，纳什不等式可以扩展到L情形，此时是Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的推广。实际上，如果I是有界区间，则对所有

和所有

如下不等式成立

其中