西尔维斯特问题(Sylvester's problem)是西尔维斯特(J.J.Sylvester)于1893年提出的著名问题：设S是平面上的一个有限点集，且任何经过其中两个点的直线都一定经过其中另一个点，证明这些点都在一条直线上，不论是西尔维斯特还是他的同时代人都没能找到一个证明，过了将近50年，才由加莱(Gallai)发表了第一个证明，但相当复杂，凯利(L.M.Kelly)于1948年发现的(见《美国数学月刊》( Amer.Math.Monthly) 55,p.28)一个简短的证明现已广为人知。

外文名

Sylvester's problem

所属学科

数学（组合学）

基本介绍

西尔维斯特问题是涉及构造直线的组合几何的难题，英国数学家西尔维斯特(J.J.Sylvester)晚年研究过这样一个问题：在平面内找出不共线的n个点构成的点集S，使其中任意两点的连线必过S中的不同于这两点的第三点。经过反复研究，他觉察到这是不可能的，但他不能给予证明，于是，他在1893年的《教育时代》杂志中提出下面的猜想征求解答：设S是平面有限点集，且过其中任意两点的直线必过S中的其他一点，证明S的点共线。

西尔维斯特问题的解答

西尔维斯特问题提出后很长时间未获得解决，40年后，1933年，伽莱(T.Gallai)发表了一个相当复杂的证明，证明了西尔维斯特猜想是正确的，1943年，匈牙利数学家爱尔特希(P.Erdös)在《美国数学月刊》上重提西尔维斯特问题，第二年，多伦多大学的罗伯特·斯坦伯格给出了一个简单的初等证明，1948年，凯利(L.M.Kelly)发表了一个更精巧的证明，比斯坦伯格的还要简捷，以至于美国的《科学新闻》在1979年重提西尔维斯特问题时，称之为“可简捷解答的难题”，这两个人的证明还有一个重要的差别：斯坦伯格的证明虽然长了一些，但不必使用距离概念，只涉及顺序，因而在理论上更有意义。

凯利的证明

假设这些具有西尔维斯特所述性质的点不共线，每条经过其中两点的直线L和不在这条直线上的一个点p都组成一个线点对(L，p)，在所有这些线点对中选取一个使得从p到L的距离d为最小的。令q为从p向L所引垂线的垂足。于是(变分)根据假设，在L上至少存在三个点a，b和c。因此其中两个点，比方说a和b，将以a，b，q的顺序位于q的同一侧(c可在任何一侧)，如图1，但这样从b到直线ap的距离d'就小于d，这就产生了一个矛盾。

图1

凯利的证明确实简短——但是，这里有考克斯特(H.S.M.Coxeter)的说法：“这件关于共线性的事[西尔维斯特的问题]显然属于序几何。[确实，在复数域或有限域上这个结果不成立！你可以轻易地在环面上发现一个九点的反例。]凯利的欧氏几何式证明涉及外在的距离概念：这好比用一把长柄锤子去砸一个杏仁。”

西尔维斯特猜想的证实，等价于下面命题的正确性：设S是平面有限点集，且这些点不共线，则必有只经过其中两点的直线，这直线一般称为点集S的平凡直线，由n个不共线的点构成的点集S中，所有的平凡直线的条数记为S(n)，围绕着S(n)尚未解决的问题有：

1.S(n)的最小值问题，即不共线n点集最少有多少条平凡直线？已知的结果是

n34567891011121314
S(n)最小值334334656667

n≥15的S(n)尚不知晓。

2.莫茨金-迪拉克猜想。1951年，莫茨金(T.Motzkin)和迪拉克(H.Dulac)各自独立地做出下列猜想：对任何不共线的n点集，都有

西尔维斯特问题

式中[n/2]表示不大于n/2的最大整数。

1958年，凯利与莫泽(W.O.Moser)合作证明了

西尔维斯特问题

1981年，汉森(S.Hansen)证明了，除n=7，13外，都有

西尔维斯特问题

这是一个长达96页的证明，用了27个引理、41个辅助图。