在数学中，一个博雷尔集是指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次并运算、交运算和（或）差运算得到的一个集合。博雷尔集是由埃米尔·博雷尔的名字命名的。对于一个拓扑空间X，其所有博雷尔集的全体构成一个σ-代数，称为博雷尔代数或者博雷尔σ-代数。拓扑空间X上的博雷尔代数是X上包含其所有开集（或者等价地，所有闭集）的最小的σ-代数。博雷尔集在测度论中有着重要的意义，因为任何空间上的开集（或者闭集）上定义的测度，必然可以将定义延拓到空间所有的博雷尔集上。定义在博雷尔集上的测度被称为博雷尔测度。博雷尔集和相关的博雷尔分层在描述集合论中也起着基础性的作用。在某些语境下，博雷尔集被定义为是由拓扑空间中的紧集而不是开集生成的。两个定义在很多良态的空间中是等价的，包括所有σ-紧的豪斯多夫空间，但是在具有病态性质的空间中两者可能不同。

博雷尔代数

当X是一个度量空间时，博雷尔代数可以用如下生成的方法描述。

对于X的一族子集T（即X的幂集P(X)的任何子集），令

•

为T中元素的可数并的全体

• 

为T中元素的可数交的全体

• 

现在利用超限归纳法定义如下的序列G，其中m是一个序数：

• 对于初始的情况，定义

• 

的所有开子集全体。

• 如果i不是极限序数，那么i是

的后继序数。令

•

• 如果i是极限序数，令

我们现在可以说博雷尔代数是G，其中

是第一不可数序数，即势为

的序数集。这意味着博雷尔代数可以通过开集全体的迭代运算

至第一不可数序而生成。

为了证明这一点，首先注意到度量空间中的任何开集都是一列递增紧集的并。特别地，易知对于任何极限序数m，集合的差运算将G映射到自身；而且，当m是不可数的极限序数时，G在可数并运算下是封闭的。

注意到对于每一个博雷尔集B，存在一个可数序数

使得B可以通过

多次迭代后得到。但是随着B取遍所有博雷尔集，

也会相应地取遍所有可数序数，故而要得到所有博雷尔集所需的最靠前的序数是

，即第一不可数序数。

例子

一个重要的例子，尤其是对于概率论而言，是实数集上的博雷尔代数。它是用来定义博雷尔测度的代数。对于概率空间上一个给定的实随机变量，其概率分布按照定义，也是一个博雷尔代数上的测度。

实直线

R

上的博雷尔代数是包含所有区间的最小

代数。

在利用超限归纳法构造时，可以证明在每一步中，集合的数量至多是连续统的幂。所有博雷尔集的总数不会多于。

非博雷尔集

下面描述了卢津给出的一个实数集上的子集不是博雷尔集的例子。与之形成对比的是，不可测集的例子是无法给出的，不过其存在性是可以证明的。

每一个无理数都有一个唯一的连分数表示

其中

是一个整数，其余的

都是正整数。令A为对应序列

的无理数组成的集合，而且其中的元素满足下列性质：存在一个无限子序列使得序列中每一个元素都是下一个元素的因子。这个集合A不是博雷尔集。事实上，这个集合是一个解析集，进一步地，在解析集全体构成的类中是完备的。