婆罗摩笈多定理是婆罗摩笈多提出的数学定理，别名布拉美古塔定理。外文名Brahmagupta theorem。提出时间公元628年。若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。

中文名

婆罗摩笈多定理

外文名

Brahmagupta theorem

别名

布拉美古塔定理

提出者

婆罗摩笈多

应用学科

数学

适用领域

几何

提出时间

约公元628年

定理定义

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称，叫做"布拉美古塔定理"（又译"卜拉美古塔定理"）。

验证推导

方法一

方法一图片

如图，运用向量证明。

∵B、F、A共线，由共线向量基本定理可知，存在唯一实数k，使

EF

=(1-k)

EB

+k

EA

。其中

BF

=k

BA

又EF⊥CD

∴

EF

·

CD

=[(1-k)

EB

+k

EA

]·(

CE

+

ED

)=0

展开得(1-k)

EB

·

CE

+k

EA

·

CE

+(1-k)

EB

·

ED

+k

EA

·

ED

=0

∵EB⊥CE、EA⊥ED，即

EB

·

CE

=0，

EA

·

ED

=0

∴k

EA

·

CE

+(1-k)

EB

·

ED

=0

即k|

EA

||

CE

|cos0+(1-k)|

EB

||

ED

|cosπ=0

kEA*EC=(1-k)EB*ED

∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)

∴k=1-k，k=1/2

∴

BF

=1/2*

BA

，即F是BA中点

方法二

方法二图片

如图，运用几何证明。

∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF，即F是AD中点

定理推广

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。

如上图，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中点，则FM⊥BC。

过圆内接四边形两对角线交点做另一边的垂线，必过其对边为一边，以交点为一顶点的三角形的外心。

证明

方法一

婆罗摩笈多定理

∵MA⊥MD，F是AD中点

∴AF=MF

∴∠CAD=∠AMF

∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME

∴∠CBD=∠CME

∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°

∴∠CBD+∠BME=90°

∴EF⊥BC

方法二

婆罗摩笈多定理

∵F是BA中点

∴

EF

=1/2*(

EA

+

EB

)

CD

=

CE

+

ED

EF

·

CD

=1/2*(

EA

+

EB

)·(

CE

+

ED

)

EF

·

CD

=1/2*(

EA

·

CE

+

EA

·

ED

+

EB

·

CE

+

EB

·

ED

)

EF

·

CD

=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0

∴EF⊥CD

定理说明

1.此定理是很冷门的（被考即是因为冷门），最好题前引例证明

2.向量法证明是很方便的方法，特别是另一版本的证明，自己想出来的，比我看的任何证明过程都简单很多

3.想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握