双纽线（应用于轻工业领域的数学术语）

简介

关于伯努利双纽线的描述首见于 1694 年，雅各布· 伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹。而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线。伯努利将这种曲线称为 lemniscate ，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意。伯努利双纽线在科技和轻工业领域也得到了广泛应用，在欧洲，伯努利还将伯努利双纽线应用于赌博术中。伯努利双纽线是一个特殊的曲线，它是卡西尼卵形线和正弦螺线等曲线的特殊情况，这就意味着伯努利双纽线在沟通各曲线研究上起到了重要的作用，因此对于伯努利双曲线的探讨显得尤为重要和迫切。

双纽线是函数图形，不仅体现了数学美的对称、和谐、抽象、简洁、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。双纽线函数图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，在中国8是个简单的数字，但是现代人却给了它更丰富的意思。在南方那是发财的意思，因为和汉字“发”谐音。通过双纽线的外延和内涵，在不对其变形的基础上，对双纽线函数图形进行可用图式的概括，在此基础上可以创作出许多优秀的艺术作品。

模型的建立

如图1所示为一双纽线图形。

图1 一双纽线图形

在数学中，双纽线是由平面直角坐标系中的以下方程定义的平面代数曲线：

其中，a为图1中

伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示：

在双极坐标系，伯努利双纽线的方程也类似：

模型的性质

（1）在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线

（2）伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为：

（3）伯努利双纽线的曲率半径为：

（4）伯努利双纽线每个回线围成的面积为：

方程

取AB为x轴，中点为原点，那么A,B坐标分别为(-a,0),(a,0)

设M(x,y),则

根号

整理得

这就是 双纽线直角坐标方程。

在Mathematica中绘制双纽线的语句为：

PolarPlot[{Sqrt[2 Cos[2 t]], -Sqrt[2 Cos[2 t]]}, {t, 0, Pi}]

双纽线

在极坐标中，可化简得

另一个双纽线的方程是：

极坐标方程下：

双纽线可通过等轴双曲线经过反演得到

应用

（1）在纺织中的应用：伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用，用双纽线编织的布料外形美观，结构紧密，具有重复性和渐变性。

（2）在增压器中的应用：伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工业中得到广泛应用。

（3）在赌博术中的应用：在雅各布·伯努利的《猜度术》一书中，将伯努利双纽线广泛应用到赌博术中。

函数应用

双纽线函数图形的各种排列应用

双纽线函数图形是构成中最基本的单位元素，在单位元素的群集化过程中，可能变化出无数的组合形式。

双纽线函数图形的排列原则:

(1) 线状的排列：排列向横向发展，发展成为线状图形，有很强的方向性。可以水平方向或斜线方向发展。

(2) 面状排列：双纽线函数图形以二次方向排列，构成面状图形。

(3) 环状排列：把双纽线函数图形线状的排列发展成为曲线，使两端连接。

(4) 放射状排列：双纽线函数图形由中心向外排列，造成放射图形。

(5) 对称排列：双纽线函数图形左右对称排列，排列规律、整齐。