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平面角是由射线——点——射线构成的，是由平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。平面角的大小定义为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比，单位包括弧度和角度、角分、角秒等。平面角
数学概念
平面角由射线——点——射线构成，是从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。
具体定义
表示方法
角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。概述图中的角用∠AOB表示。但若在不会产生混淆的情形下，也会直接用顶点的字母表示，例如角∠O。
在数学式中，一般会用希腊字母（α,β,γ,θ,φ, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。
角的测量
常见测量单位
以角的端点为圆心做圆弧。由于圆弧的半径和弧长成正比，而角是长度的比例，所以圆的大小不会影响角的测量。
- 弧度：用角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的半径，一般记作rad。弧度是国际单位制中规定的角的度量，但却不是中国法定计量单位，角度则是角在中国的法定计量单位。此外，弧度在数学及三角学中有广泛的应用。
- 梯度：是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。
其他测量单位
角度的量测可以视为弧长s和半径r的比例，再依选用单位乘以一比例系数。
例如以上的弧度、角度和梯度，其转换系数n分别为、360和400。
以下是一些其他的测量单位，对应不同的n值。
- 直角（）：是1/4圈，是几何原本中用的角度单位，
在德文中曾用表示直角。
- 米位（）：此单位是指一个单位大约等于毫弧度的角度，有许多不同的定义，其数值从0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度约为0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公约组织的国家中，米位定义为圆的
。其数值大约等于一个角度的弧长为一米，其半径为一公里的角度（
）。
- 角秒（）：定义为一角分的
，会用″表示，例如
等于
度，或是3.125度。
正角和负角
在二维的笛卡儿坐标系中，角一般是以x轴的正向为基准，若往y轴的正向旋转，则其角为正角，若往y轴的负向旋转，则其角为负角。若二维的笛卡儿坐标系也是x轴朝右，y轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针的旋转对应负角。
一般而言，−θ角和一圈减去θ所得的角等效。例如−45°和
等效，但这只适用在用角表示相对位置，不是旋转概念时。旋转−45°和旋转315°是不同的。
在三维的几何中，顺时针及逆时针没有绝对的定义，因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准，一般会以一个通过角的顶点，和角所在平面垂直的向量为基准。
在导航时，导向是以北方为基准，正向表示顺时针，因此导向45°对应东北方。导向没有负值，西北方对应的导向为315°。
量测角的方法
除了量测角本身的大小外．也有其他的方式，可以量测角的大小。
角的种类
- 零角角度等于0°,或一条线
- 锐角角度大于0°且小于90°，或弧度大于0且小于的角。
- 直角角度等于90°，或弧度为的角。
- 钝角角度大于90°且小于180°，或弧度大于且小于π的角。
- 平角角度等于180°，或弧度为的角。
- 周角角度等于360°，或弧度为的角。
三垂线法
我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：
在二面角－l－中，过平面内一点A作AO⊥平面，垂足为O，过点O作
于B（过A点作AB⊥于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知
（或），则∠ABO为二面角。—l—的平面角。
作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB），后连结AB两点（或OB两点），这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：
1．善于利用图中已有的“第一垂线”
例1 已知斜三棱柱
中，
，
在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知
与底面ABC所成的角为60°．
⑴求证：BC⊥平面
；
⑵求二面角
的大小．
剖析：注意该题的第⑴问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”．
略解2
与底面AB成的角为60°，所以
又M是AC中点，所以
是正三角形，作
于N，点N为的中点，连结BN，由BC⊥平面
则∠BNC为二面角
的平面角．设
正的边长为a，所以，在
中，
，即 .
⑴求四棱锥S—ABCD的体积；
⑵求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
剖析：由SA⊥面ABCD及
不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．
略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为
所以
所以
因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又
所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以
所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为，
因为
即所求二面角的正切值为．
2．借助第三个平面，作“第一垂线”
⑴确定点D的位置，并证明你的结论；
⑵求二面角
的大小。
剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是
中点．二面角
的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面
过点D且与平面
垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面。过D作
，由面面垂直的性质知，
，即DF为我们要作的“第一垂线”。
略解2 在平面内，作
于F，连DC，由三垂线定理可证
∠DGF就是二面角的平面角，在正
中，因为D是中点，
，所以，在Rt△DFG，可求得
3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面所成的角均已给出，只要过A作AO⊥于O，就可以同时找到AB、AC在平面内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算。
解：作AO⊥于O，
于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：
所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令
在Rt△AOB中，
所以
在Rt△AOC中，
在Rt△AOD中，，所以
所以三角形ABC与面成60°或120°的二面角。
平面角定位
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。
一、重温二面角的平面角的定义
α、β是由ι出发的两个平面，O是ι上任意一点，OC
Ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；
Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取上一点A，作
垂足为B，那么
由特征Ⅱ可知
.突出ι、OC、OD、AB，这便是另一特征；
Ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。
对以上特征进行剖析
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且
，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征Ⅱ指出，如果二面角
的棱ι垂直某一平面γ与
α、β的交线，而交线所成的角就是的平面角。
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
例2 矩形ABCD，
沿对角线BD把△ABD折起，
使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作
交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，
而
tan∠CBD，故
。在Rt△AA′O中，
所以
，
即所求的二面
。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征Ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。
特征Ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作ι的垂线交ι于O，连结AO，由三垂线定理可知
；或者由A作ι的垂线交ι于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知
此时，∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角。
由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
例3的环境背景表明，面
构成两个二面角，
由特征Ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如
果思维由特征Ⅲ监控，背景中的线段
会使眼睛一亮，我们只须由
作
的垂线交于O，然后连结
，即得面
所成二面角的平面角
计算可得
在
中，
。
故所求的二面角角为
或
三个特征关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色。
1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的
消极作用，培养思维的广阔性和批判性。
一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？
这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？
过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点，OP延长过A，OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ，∠AOR为二面角A—BC—R平面角，结合特征Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR为平行四边形，
所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以这道题的答案应该是5个面！
2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却
表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？
由特征Ⅲ，有了“垂线段”便可定位。
作法一：∵A—CP—B为直角二面角，
∴过B作
交CP的延长线于D，则
APC。
∴过D作
，垂足为E，连BE。
∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。
作法二：过P点作
交BC于D′，则
∴过D′作
垂足为E′，边PE′，
∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。
再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。
由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。
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作者
