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斜率（表示直线关于坐标轴夹角的正切）

200次浏览 | 更新时间：2023-07-10

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斜率表示直线关于坐标轴夹角的正切斜率，是数学、几何学名词，它通常用直线（或曲线的切线）与（横）坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。斜率又称“角系数”，是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切，反映直线对水平面的倾斜度。

斜率

表示直线关于坐标轴夹角的正切

斜率，数学、几何学名词，是表示一条直线（或曲线的切线）关于（横）坐标轴倾斜程度的量。它通常用直线（或曲线的切线）与（横）坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

斜率又称“角系数”，是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切，反映直线对水平面的倾斜度。一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向所成的角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值为tan90°，故此直线不存在斜率（也可以说直线的斜率为无穷大）。当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像的斜率。

基本信息

中文名	斜率
别名	角系数
外文名	slope
提出者	卡尔·马克思
计算公式	k=tanα，k=Δy/Δx
适用领域	解析几何
应用学科	数学、几何学

收起

定义

斜率亦称“角系数”，表示平面直角坐标系中表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度的量。

直线对X 轴的倾斜角α的正切值tgα称为该直线的“斜率”，并记作k，

。规定平行于X轴的直线的斜率为零，平行于Y轴的直线的斜率不存在。对于过两个已知点(

和

的直线，若

，则该直线的斜率为

。

即

或

。

相关公式

当直线L的斜率存在时，斜截式

。当

时，

。

当直线L的斜率存在时，点斜式

。

对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向所成角的正切值，即

。

斜率计算：直线

，斜率

。

设直线

，则有

① 两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：

② 两条平行直线的斜率相等：

。

重要性

课标

在义务教育阶段，学生学习了一次函数，它的几何意义表示为一条直线，一次项的系数就是直线的斜率，只不过当直线与X轴垂直的时候无法表示。虽然没有明确给出斜率这个名词，但实际上思想已经渗透到其中。在高中阶段对必修一以及必修二当中都讨论了有关直线问题，选修一还有选修二也都提到了与直线相关的一些问题。上述列举的内容，实际上都涉及到了斜率的概念，因此可以说斜率这个概念是学生逐渐积淀下来的一个重要的数学概念之一。

数学

首先就是从实际意义看，斜率就是我们所说的坡度，是高度的平均变化率，用坡度来刻划道路的倾斜程度，也就是用坡面的切直高度和水平长度的比，相当于在水平方向移动一千米，在切直方向上升或下降的数值，这个比值实际上就表示了坡度的大小。

其次，从倾斜角的正切值来看；还有就是从向量看，是直线向上方向的向量与X轴方向上的单位向量的夹角；最后是从导数这个视角来再次认识斜率的概念，这里实际上就是直线的瞬时变化率。认识斜率概念不仅仅是对今后的学习起着很重要的作用，而且对今后学习的一些数学的重要的解题的方法，也是非常有帮助的。

教材

从大纲来看，教材在处理直线的斜率这一部分知识的时候，首先讲直线的倾斜角，然后再讲直线的斜率，之后再来引入经过直线上的两点的斜率公式的推导；从新课程标准来看，可以看到人教版A版的教材是先讲直线的倾斜角，然后再讲直线的斜率，只不过在处理上，是以问题的提出的形式来说。

学习物理

物理学习平均速度，瞬时速度，加速度等时需要运用其求解，推算。

推导理解公式

斜率可以帮助我们更好地理解，推导，理解公式以及其他各个方面。

注意事项

（1）顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。斜坡上两点A，B间的垂直距离h(铅直高度)与水平距离l(水平宽度)的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即

，通常坡度

用分子为1的分数来表示

，其中m叫做边坡系数；如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，那么；坡度越大⇔α角越大⇔坡面越陡，所以

可以反映坡面倾斜的程度。

如今我们学习的斜率k，等于所对应的直线（有无数条，它们彼此平行）的倾斜角（只有一个）α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。

“斜率”的概念与工程问题中的“坡度”是一致的。

（2）解析几何中，要通过点的坐标和直线方程来研究直线通过坐标计算求得，使方程形式上较为简单。如果只用倾斜角一个概念，那么它在实际上相当于反正切函数值

，难于直接通过坐标计算求得，并使方程形式变得复杂。

（3）坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线（即x轴的垂线）没有斜率。在今后的学习中，经常要对直线是否有斜率分情况进行讨论。

曲线斜率

曲线的上某点的斜率则反映了此曲线的变量在此点处的变化的快慢程度。

曲线的变化趋势仍可以用过曲线上一点的切线的斜率即导数来描述。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

时，函数在该区间内单调递增，曲线呈向上的趋势；

时，函数在该区间内单调减，曲线呈向下的趋势。

在区间(a, b)中,

时，函数在该区间内的图形是凸（从上向下看）的；

时，函数在该区间内的图形是凹的

应用

一、求直线的倾斜角；

二、证明三点共线；

三、求参数的范围；

四、求函数的值域(或最值)；

五、证明不等式；

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