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均值不等式（数学中的一个重要公式）

103次浏览 | 更新时间：2023-07-10

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均值不等式是数学中的一个重要公式，用来比较调和平均数、几何平均数和算术平均数之间的关系的。具体内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数。这个公式在求最值、函数不等式、解不等式等方面都有广泛应用。

均值不等式

本词条是多义词，共2个义项

数学中的一个重要公式

均值不等式（Inequality of arithmetic and geometric means），又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。

基本信息

中文名	均值不等式
外文名	Inequality of arithmetic and geometric means
表达式	Hn≤Gn≤An≤Qn
应用学科	数学
适用领域	不等式
别名	平均值不等式、平均不等式

收起

定义介绍

被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。

其中：

，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

证明方法

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设

。

则：

且仅当

时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件

可以弱化为

，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

原题等价于：

当且仅当

时取等号。

当

时易证；

假设当

时命题成立，即

, 当且仅当

时取等号。那么当

时，不妨设

是

中最大者，则

设

根据引理

当且仅当

且

时，即

时取等号。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。

等式推广

一般形式

设函数

。

是

上的连续单调递增函数。

时，

。

这个结论被称作幂平均不等式。

可以注意到，

仅是上述不等式的特殊情形。

特殊情况

⑴对实数a,b，有

（当且仅当a=b时取“=”号），

（当且仅当

时取“=”号）

⑵对非负实数a,b，有

，即

⑶对非负实数a,b，有

⑷对非负实数a,b，

,有

⑸对非负实数a,b，有

⑹对实数a,b，有

⑺对实数a,b,c，有

⑻对非负数a,b，有

⑼对非负数a,b,c，有

在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当

时，上式即：

当且仅当

时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即

。

参考资料

[1]

【每日一练】2022考研管综初数暑期备考：均值不等式 · 中公考研[引用日期2022-11-25]

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